Вероятностные пространства

Определения:

• События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.
• События A и B называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, наступило другое событие или нет.
• Условная вероятность события B при условии, что произошло событие A обозначается p(B/A) и определяется по формуле:

\[p(B/A)=\frac{n(A\cdot B)}{n(A)}\]

• В общем случае, для двух произвольных событий A и B имеем:

\[p(A + B)=p(A) + p(B)-p(A \cdot B)\] \[p(A \cdot B)=p(A) \cdot p(B / A)\]

Распределение Бернулли

• имеется всего два исхода, т.е. С.В. $X$ может принимать только два значения (обычно их обозначают числами 0 и 1);
• известна вероятность одного из исходов p, обычно $p = p(X=1)$; тогда автоматически $p(X=0)=1-p$.

Биномиальное распределение

Данное распределение получается, если мы проводим серию из N испытаний Бернулли. Случайная величина X в данном случае показывает количество успехов в серии из N испытаний.

Получаем формулу $k$ успехов в серии из $n$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$:

\[p_n(k) = C_n^k \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}\] \[C_N^k = \frac {N!}{(N-k)! \cdot k!}\]

Распределение Пуассона

Используя данное распределение мы можем рассчитать вероятность того что произойдет k успехов за определенный промежуток времени, зная среднее количество успехов за это время (лямбда)

\[p_{\lambda}(k) = \frac {\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}\]

---